Macierze

Wskazówki pracy z linią poleceń

Do tej pory za każdym razem po wpisaniu polecenia pojawiała się informacja o interpretacji programu. Możemy tego uniknąć dopisując na koniec polecenia średnik ;. Polecenie zostanie wykonane, ale program nie wypisze interpretacji w następnych linijkach. W ten sposób łatwiej dbać o czytelność historii operacji:

1. >> a = 10;

Innym przydatnym znakiem okazuje się procent %. Można go dopisać w dowolnym miejscu w poleceniu. Wszystko co jest zapisane po nim jest traktowane jako komentarz. Ze względu na to jeśli chcemy użyć średnika na koniec polecenia to musimy to zrobić wpisując średnik przed % - średnik po % jest traktowany jako część komentarza:

1. >> a = 10; % przypisz zmiennej a wartość 10

W przypadku wpisywania kilku poleceń nie musimy wpisywać każdego oddzielnie. Wszystkie polecenia można wpisać w tej samej linijce. Należy pamiętać, aby każde kolejne rozdzielić przecinkiem. W ten sposób interpretator będzie wiedział, że linijka zawiera kilka poleceń:

1. >> a = 10, b = 5 % ustal zmienną a na 10, a zmienną b na 5
2. 
   a =
   
       10
3. 
   b =
   
       5

Należy pamiętać, że wyciszenie interpretacji polega na postawieniu średnika na końcu polecenia, dlatego w przypadku wpisywania kilku poleceń w linijce średnik należy wstawić po każdym poleceniu. Prawidłowe "wyciszenie" wszystkich intepretacji poprzedniego kodu wygląda tak:

1. >> a = 10;, b = 5;

Z kolei postawienie średnika tylko na końcu linijki spowodowałoby tylko wyłączenie intepretacji ostatniego polecenia. Rezultat wyglądałby tak:

1. >> a = 10, b = 5;
2. 
   a =
   
       10

Macierze

Macierz to układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Zasada tworzenia jest podobna do tworzenia wektorów: dane w wierszu zapisujemy rozdzielając spacją lub przecinkiem. Każdy kolejny wiersz oddzielamy średnikiem. Wszystkie dane muszą znaleźć się w nawiasach kwadratowych. Przykładowo wpiszmy do programu następującą macierz:

1. >> [1 2 3;10 9 8]
2. 
   ans =
   
       1     2     3
       10    9     8

Jeśli wpisywane wartości tworzą ciąg o stałej różnicy to można tutaj użyć pseudopętli for. Wtedy kod znacząco się upraszcza w zapisie, ale jest trudniejszy w interpretacji:

1. >> m = [1:3; 10:-1:8];

Dodawanie i odejmowanie

Przypuśćmy, że mamy dwie macierze A i B o takich samych wymiarach:
,
które wprowadzimy do programu następująco:

1. >> A = [5 1; 1 5];, B=[1 1; 1 0];

Teraz możemy wykonać operacje dodawania i odejmowania macierzy tj. operacja jest wykonana dla każdej pary elementów i, j:

1. >> A+B
2. 
   ans =
   
       6     2     2     5
   
   
3. >> A-B
4. 
   ans =
   
       4     0     0     5

Mnożenie

Na potrzeby tej części zadeklarujemy dwie macierze A, B oraz C, które będą wyglądać tak:

1. >> A = [1:3; 10:-1:8];, B=[1:3:7; 10 10 10; 5 6 5];, C=[1, 2];

Jeśli chcemy pomnożyć dwie macierze to wystarczy użyć operatora mnożenia - gwiazdki*:

1. >> A*B
2. 
   ans =
   
       36    42    42
      140   178   200

Jednak mnożenie macierzy nie zawsze jest możliwe. W przypadku, gdy będziemy chcieli wykonać nieprawidłową operację mnożenia kompilator powiadomi nas o błędzie. Treść błędu pojawi się nawet jeśli wyciszymy interpretację używając średnika:

1. >> B*A
2. Error using  * 
   Inner matrix dimensions must agree

Operator mnożenie w błędzie jest podkreślony - jest to link, który umożliwia bezpośrednie przejście do pomocy w programie. W ten sposób możemy uzyskać pomoc, dlaczego polecenie nie mogło zostać wykonane.

Jeśli chcemy pomnożyć macierz przez skalar to możemy wpisać:

1. >> 2*C
2. 
   ans =
   
       2     4

Istnieje również możliwość, aby każdy element pomnożyć przez inną liczbę. Należy wtedy użyć dodatkowe operatora - kropki . przed znakiem operatora mnożenia *. Spowoduje to, że każdy element na pozycji i, j zostanie pomnożony przez element o współrzędnych z drugiej macierzy. Jeśli wymiary się nie zgadzają to zostanie zwrócony błąd:

1. >> A.*B
2. Error using  * 
   Matrix dimensions must agree

Błąd ten jest spowodowany różnymi rozmiarami macierzy. Przypuśćmy, że chcemy aby w macierzy A niezerowe były tylko wyrazy o obu współrzędnych nieparzystych. W tym celu przypiszemy macierzy C nową macierz, a następnie pomnożymy każdy element przez każdy:

1. >> C=[1 0 1; 0 0 0]
2. >> A.*C
3. 
   ans =
   
       1     0     3
       0     0     0

Dzielenie

Wszystkie powyższe informacje dotyczące mnożenia odnoszą się również do operacji dzielenia. Należy jednak pamiętać, że znak operacji dzielenia to /. Wtedy chcąc podzielić dwie macierze wystarczy wpisać:

1. >> B/A
2. 
   ans =
   
       2.8182   -0.1818
       0.9091    0.9091
       0.4848    0.4848

Pobieranie fragmentów macierzy

Jeśli chcemy wybrać element z macierzy nalezy wpisać nazwę macierzy, otwórzyć nawias okrągły podać współrzędne rozdzielone przecinkiem i zamknąć nawias. Przykładowo wybierzmy pierwszy element z drugiego wiersza macierzy A:

1. >> A=[1:3; 10:-1:8] % deklarujemy macierz
2. >> A(2, 1) % wybieramy pierwszy element z drugiego wiersza
3. 
   ans =
   
       10

Jeśli jednak chcemy wybrać całą kolumnę lub wiersz to liczbę zastępujemy średnikiem:

1. >> A(2, :) % wybieramy cały drugi wiersz
2. 
   ans =
   
       10    9    8
3. 
   
   >> A(:, 3) % wybieramy całą trzecią kolumne
4. 
   ans =
   
       3
       8

Używając operacji wybierania możemy zastępować całe wiersze i kolumny. W tym celu należy wybrać fragment macierzy, a następnie przypisać nową wartość. Przykładowo zastąpmy trzecia kolumnę wektorem , wtedy:

1. >> A(:, 3) = [4 5]'
2. 
   ans =
   
       1     2     4
      10     9     5

Jednak co jeśli wybierzemy wiersz lub kolumnę, która nie istnieje ? Wtedy zostanie zwrócony błąd:

1. >> A(4, :)
2. Index exceeds matrix dimensions

Należy jednak ostrożnie zamieniać całe wiersze i kolumny w macierzy. Przypuśćmy, że chcemy zmodyfikować trzeci wiersz, który nie istnieje. Program nei zwróci błędu. Dane zostaną dopisane do macierzy w odpowiednich miejscach. Wszystkie pola nowej macierzy, które nie zostały ustawione zostaną wyzerowane. W ten sposób możemy rozszerzać macierze. Dopiszmy do macierzy wektor wierszowy [3 4 5]:

1. >> A(3, :) = [3:5]
2. 
   A =
   
       1     2     4
      10     9     5
       3     4     5

Z macierzy A możemy wybrać podmacierz. W tym celu należy wskazać lewe górne pole i prawe dolne w nawiasach okrągłych (zamiast współrzędnych). Przypuśćmy, że chcemy z A wyodrębnić macierz bez pierwszych dwóch wierszy i pierwszej kolumny. Wtedy:

1. >> A(2:2, 2:end)
2. 
   ans =
   
       9     5

Jednak jeśli chcielibyśmy tylko usunąć pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę to wystarczy wpisać:

1. >> A(1:2, 2:end)
2. 
   ans =
   
       2     4
       9     5

Macierze możemy razem łączyć. W tym celu należy utworzyć macierz i zamiast podawać wartości to wstawić nazwę zmiennych. Przykładowo możemy dołączyć macierz B do macierzy A na dwa sposoby - kolumny z B dołączamy jako kolumny A lub dołączamy do wiersze macierzy A wiersze macierzy B:

1. >> [A B] % zapisujemy macierz B po prawej stronie macierzy A
2. 
   ans =
   
       1     2     4     1     4     7
      10     9     5    10    10    10
       3     4     5     5     6     5
3. >> [A; B] % dopisujemy macierz B pod macierzą A
4. 
   ans =
   
       1     2     4
      10     9     5
       3     4     5
       1     4     7
      10    10    10
       5     6     5
   

Funkcje dla macierzy kwadratowych

Macierz kwadratową możemy odwrócić na dwa sposoby:

1. >> A^-1; % podnosząc do potęgi -1
2. >> inv(A); % używając funkcji inv (ang. invert)
3.     3.5714     0.8571    -3.7143
      -5.0000    -1.0000     5.0000
       1.8571     0.2857    -1.5714

Do wyliczania wyznacznika macierzy możemy posłużyć się funkcję det (ang. determinant):

1. >> det(A)
2. 
   ans =
   
       7.0000

Macierz losowa

Program umożliwia wylosowanie macierzy. Służ do tego polecenie rand. W nawiasach okrągłych podajemy wymiary macierzy. Każde pole macierzy będzie zawierać wartość z zakresu

1. >> rand(3, 2); % losujemy macierz o trzech wierszach i dwóch kolumnach
2.     0.8147     0.9134
       0.9058     0.6324
       0.1270     0.0975

Zadania

Zadanie 1

Wykonaj poniższe polecenia:

Zalecam wykonanie poleceń bez zaglądania do artykułu. Wskazówka: Każdy podpunkt odpowiada dokładnie jednemu poleceniu!

1. Wprowadź do programu następujące macierze:
2. Macierz C to różnica A i B, zachowaj ją
3. Z kolei macierz D to suma A i B, zachowaj ją
4. Dołącz do macierzy A z prawej strony macierz C
5. Dołącz do macierzy B z dołu macierz D
6. Dołącz transpozycję macierzy A do macierzy B z prawej strony, zapisz jako macierz M
7. Pomnóż macierz M przez skalar 4
8. Pomnóż macierz A przez macierz M
9. Następnie wylosuj macierz L, aby miała taki sam rozmiar jak M
10. Pomnóż wszystkie elementy L przez elementy z M
11. Wypisz diagonale macierzy L oraz policz wyznacznik

• Odpowiedzi do zadań