Liczby Gnomiczne

Definicja

Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n + 1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat następnej liczby, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych.

Przykład

Kilka pierwszych liczb gnomicznych razem z uzasadnieniem:

Implementacja

Funkcje wstępne

Napiszemy teraz funkcję, która jako argument dostanie liczbę n i zwróci dla niej liczbę gnomiczną:

1. int getGnomicNumber(int n){
2.   return 2*n + 1;
3. }

Warto od razu też napisać drugą funkcję, która zwróci, którą z kolei jest liczba gnomiczna podana w argumencie:

1. int whichGnomicNumber(int n){
2.   return (n - 1) / 2;
3. }

Czy gnomiczna?

Nasza funkcja whichGnomicNumber() ma wadę, która wynika z zaokrąglania liczb typu int. Przyjmijmy, że jako argument damy n = 4. Wtedy z wyniku dzielenie 3 przez 2 otrzymamy 1.5, ale zaokrąglenie wskaże, że zwrócimy 1, a przecież 4 nie jest liczbą gnomiczną.

Rozwiązaniem tego problemu jest sprawdzanie czy dana liczba jest liczbą gnomiczną:

1. bool isGnomicNumber(int n){
2.   double t = (double)(n - 1) / 2;
3.   return (t - (int) t == 0);
4. }

(2.) Wyliczamy wynik zamiany liczby gnomicznej na jej pozycję. (3.) Jeżeli wyliczona liczba t nie ma części ułamkowej to oznacza, że dana liczba nie jest gnomiczna.

Teraz możemy poprawić funkcję whichGnomicNumber(), która teraz zwróci -1 jeśli okaże się, że podana liczba nie jest gnomiczna czyli innymi słowy nie jesteśmy w stanie zwrócić jej pozycji na liście liczb gnomicznych:

1. int whichGnomicNumber(int n){
2.   if(!isGnomicNumber(n)) return -1;
3.   return (n - 1) / 2;
4. }

Kwadraty liczb naturalnych

Zauważmy, że (n+1)² = n² + 2n + 1 czyli 2n + 1 = (n + 1)² - n². Z tego wynika, że dodając do n-tej liczby naturalnej dodamy n-tą liczbę gnomiczną to otrzymamy kwadrat kolejnej liczby naturalnej:

Testowanie funkcji

Chcąc sprawdzić, które liczby są gnomiczne w danym zakresie możemy wykorzystać poniższy kod:

1. int main () {
2.   int from, to;
3.   cin >> from >> to;
4.   for(int i = from; i < to; i++)
5.     if(isGnomicNumber(i))
6.       cout << i << " " << endl;
8.   system("pause");
9.   return 0;

• Kod źródłowy Implementacja

Zadania

Zadanie 1

Napisz program, który wczyta dwie liczby całkowite, które będą zakresem. Dla każdej liczby gnomicznej z zakresu podaj jej liczbę gnomiczną.

• Kod źródłowy Zadanie 1