Trójkąt Pascala 10 faktów

Historia

Trójkąt Pascala zadziwia pod wieloma względami. Został tak nazwany na cześć Blaise Pascala'a, którym był sławnym francuskim matematykiem i filozofem.

Jak się go tworzy?

Własność #1

Każda linijka ma dokładnie tyle samo elementów co numer wiersza. Trójkąt Pascala zaczynamy zawsze od 1. Każdy następny element to suma elementu do góry na lewo i na prawo. W przypadku, gdy jakiś element nie istnieje (dotyczy to skrajnych elementów każdego rzędu) to jego wartość wynosi 0.

Własność #2

n-ta linijka trójkąta to kolejny liczby z rozwinięcia

Przykładowo weźmy pod uwagę linijkę numer 3:

Elementy

Własność #3

Pierwszy element w każdym wierszu to jeden.

Własność #4

Drugi element w każdym wierszu to kolejne liczby. tj. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Własność #5

Trzeci element w każdym wierszu to kolejny liczby liczby trójkątne. Kolejne liczby trójkątne graficznie można przedstawić jako trójkąt. Wzór na n-tą liczbę trójkątną to

Własność #6

Czwarty element w każdym wierszu to kolejne liczby czworościenne. Kolejne liczby czworościenne to ilość kulek, które są potrzebne do wypełnienia czworościan foremny. Wzór na n-tą liczbę czworościenną to

Własność #7

n-ty element to kolejne liczby, które można ustawić w ciąg.

Wiersze

Własność #8

Suma n-tego wiersza to n-ta potęga 2. Można to udowodnić z tego powodu, że pierwszy wyraz to aⁿ, a ostatni bⁿ, bo jest to rozwinięcie (a + b)ⁿ. Pierwsz i ostatni wyraz to zawsze 1, więc suma wiersza to (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ.

Własność #9

Jeśli zamalujemy wszystkie liczby parzyste to trójkąt Pascala zacznie przypominać trójkąt Sierpińskiego

Dowolny drugi element z n-tego wiersza podniesiony do kwadratu równa się sumie elementu na prawo i elementu na prawo i w dół. Przykładowo . Spróbujmy udowodnić tę własność:

Wypisywanie trójkąta

Algorytm

W celu wygenerowania kolejnych wartości trójkąta Pascala należy wykonać następujący algorytm. Na początku niech lista wartości będzie pusta. W celu wygenerowania nowego wiersza należy dla każdej kolejnej pary liczb od prawej do lewej wykonać aktualizację, że i-ty element jest sumą i-tego elementu oraz elementu o indeksie i - 1. Po zakończeniu sumowania należy dopisać na koniec listy wartość 1.

Przykład

Początkowo lista jest pusta. Dla pierwszego i drugiego wiersza nie jest wykonane, żadne sumowanie, a jedynie dopisywane są jedynki. Dla trzeciego wiersza lista to {1, 1}, więc wykonanie zostanie jedno sumowanie 1 + 1 = 2 i zostanie wstawione zamiast drugiego elementu. Na koniec zostanie na koniec dopisana wartość 1. W ten sposób powstają wartości z trzeciego wiersza {1, 2, 1}. W tabelce poniżej zostały przedstawione kolejne aktualizacje listy:

Przypatrując się powyższej tabelki należy pamiętać, że w każdym wierszu ostatnia wartość 1 została dołączona po sumowaniu, a każda wartość prócz pierwszej i ostatniej w rzędzie to suma elementu nad tą wartością i elementu obok tego nad.

Rozwiązanie

Poniżej została przedstawiona funkcja wypiszPascala(), która akceptuje jeden argument wierszy. Określa on ile wierszy ma mieć wypisany trójkąt Pascala.

1. static void wypiszPascala(int wierszy) {
2.   List<int> lista = new List<int>();
3.   while (wierszy-- > 0) {
4.     for (int i = lista.Count - 1; i > 0; i--)
5.       lista[i] = lista[i] + lista[i - 1];
6.     lista.Add(1);
7.     for (int i = wierszy / 2; i > 0; i--)
8.       Console.Write("\t");
9.     foreach(int a in lista) {
10.       if (wierszy % 2 == 1)
11.         Console.Write(" ");
12.       Console.Write("{0}\t", a);
13.     }
14.     Console.WriteLine();
15.   }
16. }

(2.) Przygotuj listę do zapisu danych, a następnie (3.) rozpocznij wykonywanie wskazanej ilości powtórzeń. W każdej iteracji (4. - 6.) zaktualizuj wartości wiersza. W celu wypisania w postaci wyglądu należy pamiętać o: (7. - 8.) odpowiednim wcięciu, (9. - 13.) o wypisaniu wartości i przesunięciu następnej wartości, a dla (10. - 11.) co drugiego wiersza dodatkowo przesunięcie danych o połowę odstępu pomiędzy danymi. Na koniec (12.) należy oczywiście przejść do nowej linii.

Testowanie funkcji

W celu przetestowania kodu można skorzystać z poniższego fragmentu kodu:

1. static void Main(string[] args) {
2.   Console.Write("Ile wierszy wypisać?\n n = ");
3.   int n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
4.   wypiszPascala(n);
5.   Console.ReadKey();
6. }

• Kod źródłowy Implementacja