Paradoks Urodzinowy

Odpowiedź

Potrzeba zaledwie 23 osób w pomieszczeniu, aby szansa znalezienia dwóch osób o tej samej dacie urodzin wyniosła powyżej 50%!

Wyjaśnienie

Jeśli liczba osób w pomieszczeniu jest mniejsza niż 2 to prawdopodobieństwo wynosi 0%, a jeśli powyżej 365 osób to wyniesie ono 100% (366 dni dla lat przestępnych). Dla pozostałych ilości osób prawdopodobieństwo P(U) liczymy poprzez zdarzenie odwrotne do tego, że nikt nie ma urodzin tego samego dnia. Dla dowolnej grupy n osób wybieramy kolejno dla każdej i-tej osoby pozycję. Szansa na wybranie dnia dotychczas nie odnalezionego wynosi p_i = (365 - i + 1)/365. Prawdopodobieństwo, że każdy urodził się innego dnia jest iloczynem każdego p_i w danej grupie. Na koniec prawdopodobieństwo, że istnieje para dwóch osób urodzonych tego samego dnia liczymy poprzez zdarzenie przeciwne P(U) = 1 - P(U') = 1 - Π^{i = 1, .., n} p_i

Przykładowo licząc dla grupy 23 osób iloczyn to P(U') = (365/365)(364/365)(363/365)..(344/365)(343/365) ~ 49.27%, a więc P(U) = 1 - 49.27% = 50.73%.

Poniżej został przedstawiona zależność prawdopodobieństwa P(n) wystąpienia tej samej daty urodzin od grupy n osób.

Jak można zauważyć prawdopodobieństwo rośnie bardzo szybko, ponieważ dla 23 osób mamy już ponad 50% szans, a powyżej 70 osób jest to już prawie 100%! Dopiero na wykresie dla dowolnej grupy osób widać, że linia znajduje się bardzo blisko 100% (choć osiąga ją dopiero wtedy, gdy liczba osób n jest większa, równa liczbie dni w roku).

Niesamowite, prawda? Paradoks urodzinowy jest wykorzystywany w kryptografii podczas analizy funkcji skrótów. W ten sposób bada się podatność funkcji na tzw. atak urodzinowy tj. znalezienie nieznanego hasła za pierwszym razem.