Liczby Do Góry Nogami

Definicja

Liczbą do Góry Nogami nazywamy liczbę, której każda i-ta cyfra od lewej strony oraz i-ta od prawej strony dają w sumie liczbę 10.

Przykład

Najmniejszym reprezentatem definiowanej grupy liczb jest 5, ponieważ 5 + 5 = 10. Kolejnym przykładem jest 19, gdzie 1 + 9 = 10. Z bardziej złożonych przypadków 1379 też jest, ponieważ 1 + 9 = 10 oraz 3 + 7 = 10.

Ciąg liczb

Liczby można ustawić w następujący ciąg: 5, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 159, 258, ..

Analiza

Warunek liczb podany w definicji wymusza na liczbie pewne właściwości. Po pierwsze w liczbie Do Góry Nogami nie może występować 0. Jest to spowodowane faktem, że nie istnieje taka cyfra c, żeby 0 + c = 10. Dotyczy to również cyfry 0, gdzie warunek nigdy nie będzie spełniony.

Innym ciekawym spotrzeżeniem jest fakt, że jeśli liczba składa się z nieparzystej liczby cyfr to środkowa cyfra musi wynosić 5. Wynika to z faktu, że w takim przypadku środkowa cyfra c jest sumowana sama ze sobą i właśnie c = 5, jest jedynym poprawnym rozwiązaniem.

Implementacja

Przez Podział

Najprostszy sposób polega na podziale liczby na część lewą, środkową oraz prawą. Środkowa część istnieje jedynie dla liczb o nieparzystej liczbie cyfr i musi się równać 5. Dla części lewej i prawej jedną z nich zapisujemy wspak. Następnie wybieramy kolejne cyfry i sprawdzamy czy wszystkie takie pary sumują się do wartości 10. Jeśli żaden z wymienionych warunków nie jest spełniony to na pewno a nie jest liczbą do Góry Nogami.

Poniższa funkcja czyDoGoryNogami() sprawdza czy przekazana liczba a jest liczbą do Góry Nogami i zwraca wartość logiczną na ten temat.

1. def czyDoGoryNogami(a):
2.   if (a <= 0):
3.     return False
4.   dl = int(math.log10(a)) + 1
5.   wybierz = int(math.pow(10, dl // 2))
6.   prawa = wspak(a % wybierz)
7.   lewa = a // wybierz
8.   if (dl % 2 == 1):
9.     if (lewa % 10 != 5):
10.       return False
11.     lewa //= 10
12.   while (lewa > 0 and prawa > 0):
13.     if (lewa % 10 + prawa % 10 != 10):
14.       return False
15.     lewa //= 10
16.     prawa //= 10
17.   return lewa == 0 and prawa == 0

Na początku funkcja odrzuca przypadki na którą odpowiedź jest oczywista. Następnie wyliiczamy długość liczby i dzielimy liczbę na dwie części. Lewa strona może zawierać część środkową, więc należy ją sprawdzić i usunąć. Następnie w pętli sumowane są kolejne cyfry dopóki obydwie części liczby są różne od 0. Na koniec należy sprawdzić, że obydwie części zostały wyzerowane.

Charakterystyczna Suma

Jeśli zostanie zsumowana liczba a oraz liczba a zapisana wspak to dla liczby do Góry Nogami zostanie otrzymana bardzo charakterystyczna suma, która będzie składała się z tylu jedynek na początku jaka jest ilość cyfr a i na końcu będzie 0. Wynika to z faktu, że sumy kolejnych cyfr wyniosą dokładnie 10. Przykładowo 19 + 91 = 110, albo 1379 + 9731 = 11110.

Oto kolejna przykładowa implementacja funkcji czyDoGoryNogami():

1. def czyDoGoryNogami(a):
2.   if (a <= 0):
3.     return False
4.   dl = int(math.log10(a)) + 1
5.   wybierz = int(math.pow(10, dl // 2))
6.   prawa = wspak(a % wybierz)
7.   lewa = a // wybierz
8.   if (dl % 2 == 1):
9.     if (lewa % 10 != 5):
10.       return False
11.     lewa //= 10
12.   while (lewa > 0 and prawa > 0):
13.     if (lewa % 10 + prawa % 10 != 10):
14.       return False
15.     lewa //= 10
16.     prawa //= 10
17.   return lewa == 0 and prawa == 0

Na początku sumowana jest liczba a i jej wersja wspak. Następnie należy się upewnić, że ostatnia cyfra to 0 i ją usunąć. Potem wystarczy sprawdzić, że każda kolejna liczba to 1 i jeśli wszystkie warunki zostaną spełnione to zwrócić prawdę.

Testowanie funkcji

W celu przetestowania jak działa napisana funkcja można skorzystać z poniższego fragmentu kodu:

1. a = int(input("Podaj liczbę do sprawdzenia\n a = "))
2. wynik = czyDoGoryNogami(a)
3. print("Liczba " + ("" if wynik else "nie ") + "jest liczbą do góry nogami")

• Kod źródłowy Przez Podział
• Kod źródłowy Charakterystyczna suma