Strona główna » Algorytmy » Artykuły » Cztery Kółka
 

Cztery Kółka

Zagadka

Przyporządkuj literom a .. g cyfry od 1 do 7. Suma liter w każdym kole musi być identyczna. Jako rozwiązanie podaj sposób w jaki można dokonać takiego przyporządkowania. Czy istnieje tylko jedno rozwiązanie?

Rozwiązanie

Odpowiedź

Istnieje 8 różnych rozwiązań przedstawionej zagadki. Poniżej został przedstawiony proces rozumowania jak można odnaleźć odpowiedź.

Wyjaśnienie

Przyporządkowanie cyfr może odbyć się na 7! = 5040 sposobów. Sprawdzenie wszystkiech ręcznie zabrałoby bardzo dużo czasu, ale z pomocą przychodzą pewne zależności matematyczne, które można wywnioskować z zadania. Na początku zapiszmy warunki przedstawione na obrazku w postaci równań matematycznych. Otrzymujemy w ten sposób następujące równania:

  1. a + b = b + c + d
  2. g + f = f + e + d
  3. b + c + d = f + e + d

Zauważmy, że w równaniach [1] oraz [2] występuje dokładnie jedna taka sama litera po lewej i po prawej stronie. Uprośćmy te równania w następujący sposób:

  1. a = c + d
  2. g = e + d

Oba przypadki sprowadzają się do wyznaczenia takich trójek liczb (x, y, z), że pierwsza z nich będzie sumą dwóch następnych tj. x = y + z. Na podstawie powyższych warunków oraz ze względu na to, że wszystkie liczby są dodatnie i wśród liczb nie występuje wartość 0 to pewne jest, że x > y oraz x > z. Dla wartości x, y i z wiemy, że są różne. Takich trójek jest w zbiorze wszystkich liczb nieskończenie wiele, ale w zadaniu ograniczamy się do zbioru {1, 2, .., 7}, więc zapiszmy wszystkie sposoby na które możemy uzyskać jedną cyfrę sumując dwie inne.

SumaRozkład
33 = 2 + 1
44 = 3 + 1
55 = 4 + 1 = 3 + 2
66 = 5 + 1 = 4 + 2
77 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3

Każdy rozkład wyznacza pewną trójkę liczb (x, y, z), która spełnia warunek x = y + z oraz, że x jest większe y oraz od z. Zapiszmy je wszystkie w tabeli.

(3, 2, 1)(4, 3, 1)(5, 4, 1)(5, 3, 2)(6, 5, 1)(6, 4, 2)(7, 6, 1)(7, 5, 2)(7, 4, 3)

Każdy rozkład wyznacza pewną trójkę liczb (x, y, z), która spełnia warunek x = y + z oraz, że x jest większe y oraz od z. Zapiszmy je wszystkie w tabeli. Wracamy teraz do uproszczonych równań:

  1. a = c + d
  2. g = e + d

Musimy teraz wybrać wszystkie pary trójek, które spełnią równocześnie jedno i drugie równanie. Oznacza to, że porównując obydwie pary jedna wartość musi być taka sama. Ponadto wiemy, że ta wartość leży na pozycji drugiej lub trzeciej, ponieważ d tworzy sumę większej liczby. Przykładowo (4, 3, 1) oraz (6, 4, 2) nie spełniają warunków, ponieważ 4 musiałoby w pierwszej parze nie występować w roli największej wartości.

Teoretycznie jest 9·8 = 72 sposoby wyboru pary, dlatego warto zastanowić się jak tego typu wybór uprościć. Po pierwsze pary na pewno nie tworzą trójki, które na pierwszej pozycji mają takie same wartości. Ponadto możemy przyjąć, że dla i-tej pary będziemy szukać pasującej pary tylko na prawo. Tu należy zaznaczyć, że nie stwierdzamy, która trójka rozwiązuje, które równanie, ale dla każdej pary wskazujemy wartość elementu d. Wszystkie wyznaczone pary musiałby spełnić warunek b + c = f + e, który został wyznaczony z równań. Oznacza to, że dla każdej znalezionej trójki trzeba wyznaczyć dwie brakujące wartości b i f, a potem sprawdzić czy |b - f| = |e - c|, gdzie e i c są to wartości z trójek z pozycji drugiej i trzeciej nie uznane za wspólną wartość d.

Trójka #1Trójka #2db, f|b - f| ? |e - c|
(3, 2, 1)(5, 4, 1)16, 7|7 - 6| ≠ |4 - 2|
(3, 2, 1)(6, 5, 1)14, 7|7 - 4| = |5 - 2|
(3, 2, 1)(6, 4, 2)25, 7|7 - 5| ≠ |4 - 1|
(3, 2, 1)(7, 6, 1)14, 5|5 - 4| ≠ |6 - 2|
(3, 2, 1)(7, 5, 2)24, 6|6 - 4| ≠ |5 - 1|
(4, 3, 1)(5, 3, 2)36, 7|7 - 6| = |2 - 1|
(4, 3, 1)(6, 5, 1)12, 7|7 - 2| ≠ |5 - 3|
(4, 3, 1)(7, 6, 1)12, 5|5 - 2| = |6 - 3|
(5, 4, 1)(6, 4, 2)43, 7|7 - 3| ≠ |2 - 1|
(5, 4, 1)(7, 6, 1)12, 3|3 - 2| ≠ |6 - 4|
(5, 4, 1)(7, 4, 3)42, 6|6 - 2| ≠ |3 - 1|
(5, 3, 2)(6, 4, 2)21, 7|7 - 1| ≠ |4 - 3|
(5, 3, 2)(7, 4, 3)31, 6|6 - 1| ≠ |4 - 2|
(6, 5, 1)(7, 5, 2)53, 4|4 - 3| = |2 - 1|
(6, 4, 2)(7, 5, 2)21, 3|3 - 1| ≠ |5 - 4|
(6, 4, 2)(7, 4, 3)41, 5|5 - 1| ≠ |3 - 2|

Znalezionych zostało 16 różnych par trójek, ale jedynie cztery z nich spełniają trzeci warunek ustalony na początku zadania. Teraz pozostał już ostatni etap, który polega na wyznaczeniu wszystkich rozwiązań. Oznacza to, że przyporządkowywujemy równaniom konkretne wartości. Na podstawie warunku z poprzdniej tabeli zostanie określone przyporządkowanie wartości b i f.

Trójka
(a, c, d)
Trójka
(g, e, d)
db, fe - c = b - f(b, f)
(3, 2, 1)(6, 5, 1)14, 75 - 2 = 3(7, 4)
(4, 3, 1)(5, 3, 2)36, 72 - 1 = 1(7, 6)
(4, 3, 1)(7, 6, 1)12, 56 - 3 = 3(5, 2)
(6, 5, 1)(7, 5, 2)53, 42 - 1 = 1(4, 3)
(6, 5, 1)(3, 2, 1)14, 72 - 5 = -3(4, 7)
(5, 3, 2)(4, 3, 1)36, 71 - 2 = -1(6, 7)
(7, 6, 1)(4, 3, 1)12, 53 - 2 = -3(2, 5)
(7, 5, 2)(6, 5, 1)53, 41 - 2 = -1(3, 4)

Ostatecznie rozwiązaniem zadania są następujące przyporządkowania cyfr:

abcdefg
3721546
4713265
4531627
6415237
6451273
5623174
7261354
7325146