Strona główna » Algorytmy » Artykuły » Trójkąt Pascala - 10 faktów
 

Trójkąt Pascala - 10 faktów

Historia

1.1
2.11
3.121
4.1331
5.14641
6.15101051

Trójkąt Pascala zadziwia pod wieloma względami. Został tak nazwany na cześć Blaise Pascala'a, którym był sławnym francuskim matematykiem i filozofem.

Jak się go tworzy?

Własność #1

Każda linijka ma dokładnie tyle samo elementów co numer wiersza. Trójkąt Pascala zaczynamy zawsze od 1. Każdy następny element to suma elementu do góry na lewo i na prawo. W przypadku, gdy jakiś element nie istnieje (dotyczy to skrajnych elementów każdego rzędu) to jego wartość wynosi 0.

Własność #2

n-ta linijka trójkąta to kolejny liczby z rozwinięcia

Przykładowo weźmy pod uwagę linijkę numer 3:

Elementy

1.1
2.11
3.121
4.1331
5.14641
6.15101051

Własność #3

Pierwszy element w każdym wierszu to jeden.

Własność #4

Drugi element w każdym wierszu to kolejne liczby. tj. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Własność #5

Trzeci element w każdym wierszu to kolejny liczby liczby trójkątne. Kolejne liczby trójkątne graficznie można przedstawić jako trójkąt. Wzór na n-tą liczbę trójkątną to

Własność #6

Czwarty element w każdym wierszu to kolejne liczby czworościenne. Kolejne liczby czworościenne to ilość kulek, które są potrzebne do wypełnienia czworościan foremny. Wzór na n-tą liczbę czworościenną to

Własność #7

n-ty element to kolejne liczby, które można ustawić w ciąg.

Wiersze

1.1= 1
2.11= 2
3.121= 4
4.1331= 8
5.14641= 16
6.15101051= 32

Własność #8

Suma n-tego wiersza to n-ta potęga 2. Można to udowodnić z tego powodu, że pierwszy wyraz to an, a ostatni bn, bo jest to rozwinięcie (a + b)n. Pierwsz i ostatni wyraz to zawsze 1, więc suma wiersza to (1 + 1)n = 2n.

Własność #9

Jeśli zamalujemy wszystkie liczby parzyste to trójkąt Pascala zacznie przypominać trójkąt Sierpińskiego

Dowolny drugi element z n-tego wiersza podniesiony do kwadratu równa się sumie elementu na prawo i elementu na prawo i w dół. Przykładowo Spróbujmy udowodnić tę własność: