Strona główna » Algorytmy » Artykuły » Trójkąt Pascala 10 faktów
 

Trójkąt Pascala 10 faktów

Historia

1.1
2.11
3.121
4.1331
5.14641
6.15101051

Trójkąt Pascala zadziwia pod wieloma względami. Został tak nazwany na cześć Blaise Pascala'a, którym był sławnym francuskim matematykiem i filozofem.

Jak się go tworzy?

Własność #1

Każda linijka ma dokładnie tyle samo elementów co numer wiersza. Trójkąt Pascala zaczynamy zawsze od 1. Każdy następny element to suma elementu do góry na lewo i na prawo. W przypadku, gdy jakiś element nie istnieje (dotyczy to skrajnych elementów każdego rzędu) to jego wartość wynosi 0.

Własność #2

n-ta linijka trójkąta to kolejny liczby z rozwinięcia

Przykładowo weźmy pod uwagę linijkę numer 3:

Elementy

1.1
2.11
3.121
4.1331
5.14641
6.15101051

Własność #3

Pierwszy element w każdym wierszu to jeden.

Własność #4

Drugi element w każdym wierszu to kolejne liczby. tj. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Własność #5

Trzeci element w każdym wierszu to kolejny liczby liczby trójkątne. Kolejne liczby trójkątne graficznie można przedstawić jako trójkąt. Wzór na n-tą liczbę trójkątną to

Własność #6

Czwarty element w każdym wierszu to kolejne liczby czworościenne. Kolejne liczby czworościenne to ilość kulek, które są potrzebne do wypełnienia czworościan foremny. Wzór na n-tą liczbę czworościenną to

Własność #7

n-ty element to kolejne liczby, które można ustawić w ciąg.

Wiersze

1.1= 1
2.11= 2
3.121= 4
4.1331= 8
5.14641= 16
6.15101051= 32

Własność #8

Suma n-tego wiersza to n-ta potęga 2. Można to udowodnić z tego powodu, że pierwszy wyraz to an, a ostatni bn, bo jest to rozwinięcie (a + b)n. Pierwsz i ostatni wyraz to zawsze 1, więc suma wiersza to (1 + 1)n = 2n.

Własność #9

Jeśli zamalujemy wszystkie liczby parzyste to trójkąt Pascala zacznie przypominać trójkąt Sierpińskiego

Dowolny drugi element z n-tego wiersza podniesiony do kwadratu równa się sumie elementu na prawo i elementu na prawo i w dół. Przykładowo Spróbujmy udowodnić tę własność: