Strona główna » Poradniki » Maxima » Wektory

Wektory

Wstęp

Wektor to w matematyce obiekt, który posiada kierunek z zwrotem oraz moduł. Jest on wykorzystywany przede wszystkim w naukach fizycznych do opisywania różnego rodzaju zjawisk. W matematyce jego właściwości oraz zastosowania można poznać na zajęciach algebry.

Podstawowe operacje

W celu zadeklarowania wektora w programie Maxima należy w nawiasach kwadratowych wpisać wartości liczbowe i oddzielić sąsiadujece liczby przecinkiem. Dodatkowo można na początku wpisać literę i dwukropek, aby do wektora odwoływać się poprzez pojedynczą literę. Przykładowa deklaracja wygląda następująco:

(%i1)a: [1, 2, 3, 4];
(a)[1,2,3,4]
(%i2)b: [3, 0, -4, 2]
(b)[3,0,-4,2]

Na utworzonych wektorach można dokonywać teraz operacji arytmetycznych. W celu dodania dwóch wektorów wystarczy użyć operatora "+".

(%i3)a + b
(%o3)[4,2,-1,6]

Tak samo można wykonać operację mnożenia przez skalar.

(%i3)3 * a
(%o3)[3,6,9,12]

Iloczyn skalarny

W celu obliczenia iloczyn skalarnego należy zastosować operator ".". Wtedy wynikiem operacji jest suma iloczynów każdej pary współrzędnych wektorów.

(%i3)a . b
(%o3)-1

Uwaga! Operator mnożenia " * " w programie Maxima służy do pomnożenie każdą współrzędną z wektora pierwszego przez odpowiadającą mu wspórzędną z wektora drugiego. Wynikiem nie jest skalara, a wektor. To nie jest operator skalarny!

(%i3)a + b
(%o3)[4,2,-1,6]

Moduł

W celu obliczenia modułu wybranego wektora należy wyciągnąć pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora z tym samym wektorem. Zapis w programie będzie następujący:

(%i3)sqrt(a . a)
(%o3)30

Graficzna reprezentacja wektorów

W programie maxima wektory można rysować zarówno na płaszczyźnie jak i w przestrzeni przy pomocy odpowiednio poleceń draw2d i draw3d. Wektorowi odpowiada obiekt vector, który przyjmuje jako parametry punkt zaczepienia oraz przesunięcie.

Przykładowo w celu narysowania wektora (3, 2) zaczepionego w punkcie (1, 1) należy wpisać:

(%i3)draw2d(xrange = [0, 5], yrange = [0, 4], head_length = 0.25, vector([1, 1], [3, 2]))$
(%o3)Przykładowy wektor

W przykładzie zostało dodane dodatkowe słówko head_length o wartości 0.25 zmienia to wielkość strzałki rysowanego wektora. Domyślna wielkość to 1, która na rysunkach wychodzi bardzo duża.

Dodatkowe opcje

Przydatnym poleceniem zmieniającym styl wektora jest zmiana stylu rysowania grota strzałki. Odpowiada za to parametr head_type. Domyślnie grot jest wypełniony co odpowiada wartości filled. Można jeszcze zostawić same kontury poprzez ustawienie wartości empty, albo przedstawić grot poprzez dwie strzałki wartością nofilled.

Różne groty strzałek, kolejno od lewej filled, empty i nofilled

Różne groty strzałek

Można jeszcze zmieniać styl linii tj. grubość oraz styl rysowania poprzez argumenty line_width i line_type. W celu zmiany grubości należy podać konkretną liczbę, a w przypadku zmiany typu można zmienić na kropkowany styl dots.

Zastosowanie

Na podstawie poznanych właściwości można napisać kod, który zobrazuje dodawanie wektorów.

(%i3)draw2d(xrange = [0,6], yrange = [0,4], head_length = 0.25, vector([0,0],[3,1]), vector([0,0],[2,2]), head_length = 0.00000001, color=green, line_type=dots, vector([3,1],[2,2]), vector([2,2],[3,1]), head_length = 0.25, line_type=solid, color=red, vector([0,0],[5,3]))$
(%o3)Dodawanie wektorów

Zadania

Zadanie 1

Przy pomocy wektorów postaraj się narysować poniższy rysunek.

Zadanie 1