Strona główna » Poradniki » Maxima » Pochodne

Pochodne

Wstęp

Program Maxima zawiera funkcje, które pozwalają na wyznaczenie pochodnej i całki funkcji. Nie są to tylko obliczenia wyniku dla konkretnych wartości. Program potrafi obliczyć konkretny wzór. Tego typu rozwiązanie pozwala na dowolne wykorzystanie przeprowadzonych obliczeń.

Pochodna

Tradycyjny sposób zapisu:

nie zadziała, ponieważ apostrof nie jest rozpoznawany jako operator. Do wyliczania pochodnej służy funkcja diff(). Można ją wywołać na kilka sposobów. Pierwszy z nich polega na podaniu jako jedyny argument funkcję. Wtedy program postara się sam znaleźć względem jakiej zmiennej ma zostać wyliczona pochodna. W wyniku zostanie dopisana różniczka: symbolizuje o tym dodatkowy zapis del(x):

(%i1)diff(x^2+3*x+1);
(%o1)(2*x+3)*del(x)

Zdecydowanie lepszym pomysłem podczas wyliczania pochodnej jest wskazanie programowi względem której zmiennej wyliczamy pochodną. Wtedy wpisujemy następująco:

(%i2)diff(x^2+3*x+1, x);
(%o2)2*x+3

W matematyce można spotkać ustalanie wypukłości funkcji. Polega to na wyznaczeniu miejsc zerowych pochodnej, pochodnej funkcji co zapisuje się zwykle jako . W programie Maxima można to zapisać następująco:

(%i3)diff(diff(x^2+3*x+1, x),x);
(%o3)2

Twórcy jednak przewidzieli tego typu sytuację i niekoniecznie trzeba wywoływać funkcję diff() podwójnie. Jako trzeci argument funkcji diff() można podać liczbę n. Będzie oznaczała ile razy względem podanej zmiennej funkcja ma być zróżniczkowana. Wtedy powyższy zapis można zapisać w prostszy sposób:

(%i4)diff(x^2+3*x+1, x, 2);
(%o4)2

Dzięki takiemu zapisowi zdecydowanie łatwiej sprawdzić poprawność wprowadzonego wyrażenia. Ponadto za każdym razem nie trzeba przepisywać względem której zmiennej różniczkujemy.

Dialog

Pochodną można także wyznaczyć wpisując dane do wygodnego formularza. W tym celu należy wybrać z menu RRC, a następnie Pochodna. Po kliknięciu otworzy się poniższe okno:

Teraz wystarczy wypełnić pola. W pierwszym mona wpisać można funkcję w postaci np. , albo wyrażenie z %. Następnie należy wpisać nazwę zmiennej względem której będzie wyrażenie różniczkowane.

Transformacja Laplace’a

Do przeprowadzenia transformacji Laplace’a służy funkcja laplace(), która przyjmuje trzy argumenty. Pierwszy z nich to wzór funkcji, drugi zmienna względem, której wyrażenie będzie różniczkowane. Trzeci argument to parametr transformujący. Przykładowo prawidłowe wywołanie funkcji wygląda następująco:

(%i5)laplace (x^2+3*x+1, x, s);
(%o5)

Wykres funkcji i pochodnej

Jednym z najprostszych sposobów uzyskania funkcji i jej pochodnej na wykresie jest najpierw wpisania samego wzoru funkcji, a następnie uzyskanie odnośnika z %. W ten sposób można uprościć zapis:

(%i6)x^2+3*x+1;
(%o6)
(%i7)wxplot2d([%i38, diff(%i38,x)], [x,-5,5])$
(%t7)

Pochodna dwóch zmiennych

W przypadku wyznaczania ogólnego wzoru pochodnej kilku zmiennych warto wpisać tylko sam wzór funkcji (bez żadnych dodatkowych argumentów):

(%i8)diff(y^2+x^2);
(%o8)2ydel(y)+2xdel(x)