Strona główna » Poradniki » Maxima » Nieskończone szeregi i iloczyny

Nieskończone szeregi i iloczyny

Szeregi

Jeśli chcemy w programie Maxima obliczyć sumę n początkowych wyrazów szeregu skorzystamy z funkcji sum. Podana funkcja przyjmuje od nas 4 argumenty. Są to kolejno: postać n-tego wyrazu, symbol pod który ma być podkładany indeks wyrazu, argument początkowy sumowania, argument końcowy sumowania.

(%i1)sum(1/n,n,1,4);
(%o1)

W podanym przykładzie litera n może zostać zamieniona na dowolny inny symbol: x, a...

Jeśli jednak interesuje nas zsumowanie konkretnych wyrazów szeregu warto przyjrzeć się funkcji lsum, która przyjmuje tylko 3 argumenty: pierwszy to postać wyrazu ciągu, drugi określa pod którą zmienną należy podstawiać indeks wyrazu, a trzeci to lista argumentów dla których chcemy uzyskać sumę.

(%i2)lsum(1/n, n, [1, 3, 5]);
(%o2)

Jak w przypadku funkcji sum n może zostać zamieniona na dowolny inny symbol.

Iloczyny

Iloczyn nieskończony jest analogią szeregu. Jest to iloczyn wielu wyrazów określonej postaci. Do obliczania iloczynu posłuży nam funkcja product, która przyjmuje identyczne argumenty jak funkcja sum. Należy podać jej: postać ogólną wyrazu, zmienna pod którą będzie podkładany indeks wyrazu, a później argumenty określające zakres od, do.

(%i3)product(1/n,n,1,4);
(%o3)

Kilka słów dodatkowych

W zapisie wolno nam użyć symboli o specjalnych znaczeniach jak np. nieskończoność , aby obliczyć nieskończoną sumę szeregu czy iloczynu. Niemniej należy się spodziewać podania ogólnego wyrazu przez program niż konkretnej sumy.

(%i4)sum(1/n,n,1,inf);
(%o4)

Jeśli w postaci ogólnej wyrazu w funkcjach sum i product dodamy zmienną a, która nie jest zmienna podczas obliczania kolejnego wyrazu to program zwróci kolejne wyrazy i wyświetli je jeden za drugim nie pomijając nieznanej zmiennej.

(%i5)product (a + 2*n, n, 1, 4);
(%o5)

Program zawsze będzie się starał uprościć wyrażenie o ile to możliwe, dlatego:

(%i6)product (a + 2*n, n, 1, 4)+product (a + 2*n, n, 1, 4);
(%o6)

Czasami potrzebne jest użycie dodatkowej flagi dla programu, aby zrozumiał, że nam na tym zależy:

(%i7)product (k, k, 1, n), simpproduct;
(%o7)

Zadania

  1. Oblicz
  2. Znajdź postać sumy szeregu dla wyrazów parzystych
  3. * Uzyskaj wzór używając funkcji product